回顾与反思活动与探究

= 2238;顾与反思活动与探究<= /b>

= 世界之大，从= 古至今的许多图案、= 4314;筑以及许多复杂的๡= 6;动都离不开相似变换&= #65292;我们通过这一章的= 398;习已经认识相似，掌= ;握了相似的应用，下&#= 38754;就来一起回忆并总ń= 67;一下吧！

= 何谓两个图形= 的相似？

答：相似是指形状= 相同，大小不一定相= 1561;两个图形。

= 你能举出一两= 个相似的实例吗？

答：如位似图形、= 比例规。

= 如何识别两个= 三角形的相似呢？

答：&#= 9312;平行于三角形一边௚= 0;直线，截三角形其他&= #20004;边对应线段成比例A= 307;

所得三角形与= 原三角形相似．

②有两个角相&= #31561;的两个三角形相似A= 307;

③两边对应成&= #27604;例，并且夹角相等= 340;两个三角形相似；=

④三边对应成&= #27604;例的两个三角形相= 284;．

= 如何识别两个= 多边形的相似呢？

答：= 只有&= #22312;对应边都对应成比= 363;，对应角都对应相等= ;时它们相似。=

= 两个三角形相= 似时，我们得到哪些= 4615;质呢？

答：&#= 9312;相似三角形对应边ৎ= 4;比例，对应角相等；<= /span>

②相似三角形&= #23545;应边上中线的比等= 110;相似比；

③相似三角形&= #23545;应边上高的比等于= 456;似比；

④相似三角形&= #23545;应角的角平分线的= 604;等于相似比；

⑤相似三角形&= #21608;长的比等于相似比A= 307;

⑥相似三角形&= #38754;积的比等于相似比= 290;

= 常见的相似三= 角形有哪些类型？

答：= 基&= #26412;图形归纳：=

平行型：=

= =

斜&= #25130;型=

= =

= 下面我们$= 890;过例题巩固一下所学= ;知识吧！

　

例1已知在一张比= 例尺为1︰20000的地= ;图上，量得A与B两地= 0340;距离是5cm，求A、<= span lang=3DEN-US>B两地的实际距బ= 3;．

解：由题意，设A<= /span>、B两地的距离为x，

则有 1︰20000=3D0A= 294;05︰x

∴ x=3D20000×0ʌ= 94;05=3D1000(m)．

答：A、B两地= 0340;实际距离为1000m．　

例2已知az= 89;b、c为△ABC的三边，(= a-c) ︰(a+b) ︰(c-b)=3D-2︰7︰1，且a+b+c=3D= 24．求：

(1)a= 289;b、c的值= 5307;

(2)Ò= 28;断△ABC的形状．

=

解：(1)= 由(a-c) ︰(= a+b) ︰(c-b)=3D-2︰7︰1，得

₌,

设₌，则₌

∴ a=3D3k，同理可得 b=3D4k，c=3D5k&#= 65292;

∴ 3k+4k+5k=3D24，∴ = k=3D2，

∴ a=3D6，b=3D8A= 292;c=3D10．

(2)∵= <= /span>，₌，

即 ₌，

故△ABC是直角三角形A= 294;

例3如图，已知平= 行四边ABCD中，E是= AB的中点，₌，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．

=

解法1：= 延长F= E交CB的延长线于H，

∵ 四边形ABCD<= /span>是平行四边形，

∴ <= /span>，

∴ ∠H=3D∠AFE，∠DAB=3Dͩ= 6;HBE

又AE=3DEB，∴ △AEF≌△BEH，即AF=3DBH= 5292;

∵ ₌，∴ ₌，即₌．

∵ AD∥CH，= 736;AGF=3D∠CGH，ͩ= 6;AFG=3D∠BHE，

∴ △AFG∽υ= 1;CGH．

∴ AG︰GC=3DAFʍ= 06;CH，

∴ AG︰GC=3D1ᥫ= 2;4，∴ AGA= 072;AC=3D1︰5．

解法2：= 如图4= —2，延长EF&#= 19982;CD的延长线交于M，由平行四边উ= 8;ABCD可知，₌，即AB∥MC，

<= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt;color:black'>=

∴ AF︰FD=3DAEʍ= 06;MD，AG︰GC=3DAE︰MC．

∵ <= /span>，

∴ AF︰FD=3D1ᥫ= 2;2，

∴ AE︰MD=3D1ᥫ= 2;2．

∵ <= /span>．

∴ AE︰MC=3D1ᥫ= 2;4，即AG︰GC=3D1︰4，

∴ AG︰AC=3D1ᥫ= 2;5

= 例4如下图，在水= 平桌面上的两个“E”，当点P1，P₂，O在= ;一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用&= #9313;号“E”测得的视力相= ;同。

（1）Þ= 70;中₌满足怎样的关系式ʍ= 11;

（2）ŏ= 09;₌=3D3.2cm，₌=3D2cm，①号“= E”的测试距离₌=3D8cm，要使测得的&= #35270;力相同，则②号“E”的测试距离₌应为多少？

<= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt'>=

= 解：（<= span lang=3DEN-US>1）∵P₁D₁₌∥P₂D₂，=

∴&#= 9651;P₁D₁O≌△P₂D₂O，=

∴= ，即₌。=

（<= span lang=3DEN-US>2）∵₌且₌，=

= ，&= #65288;注：可不进行单位&= #25442;算）=

∴= 。=

答：= 567;“E”的测试距离是= ;₌。

　

　&= nbsp;

回顾与反思 归纳总结

      网络归纳

   &n= bsp; 知识要点：

= = 一、比例的概= 4565;及有关性质

= 1．线段的比

用同一个长度= 1333;位去量两条线段，AB，CD的长&= #24230;分别是m，n，那= 0040;就说这两条线段的ૈ= 4;AB：CD=3Dm：n，或写成₌，其中AB，CD分别&= #21483;做这个线段比的前'= 033;和后项．如果把₌表示成比值k，那么₌，或AB=3Dk·CD．

= 2．比例线段

在四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么，๢= 5;四条线段叫做成比例&= #32447;段或简称比例线段A= 294;

= 3．比例的有关= 7010;念

在比例式= a：b=3Dc：d中，= ;a、d叫做= 7604;例外项；b、c叫做= 7604;例内项；d叫做第四比例༿= 3;．若比例中两个比例&= #20869;项相等时，我们把$= 825;一项叫做另外两项的= ;比例中项．如a：b=3Db：c，则b叫做a、c的比例中项．

= 4．比例的性质

(1)比例的基本= ;性质．

如果a：= b=3Dc：d，那= ;么ad=3Dbc．

比例基本性质= 0340;逆命题．

①如果ad=3Dbc，那么a= ：b=3Dc：d．

②如果a&= #65306;b=3Db：c，那= ;么₌．

③如果₌，那么a：b=3Db：c(②的逆命题)．
(2)合比性质．= ;

如果₌，那么₌．

(3)等比性质．= ;

如果₌，那么₌

= 5．黄金分割

把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)．= ;如果₌，那么称线段AB被点C黄&#= 37329;分割，点C叫做线段AB<= /span>的黄金分割点，AC与AB的比&= #21483;做黄金比．

= = 二、相似三角= 4418;

= 1．相似三角形= 3450;义

对应角相等、= 3545;应边成比例的两个ߍ= 7;角形叫做相似三角形&= #65294;它们对应边的比叫= 570;相似比．

= 2．相似三角形= 0340;判定定理

(1)两角对应相= ;等的两个三角形相似&#= 65294;

(2)两边对应成= ;比例，且其夹角相等&#= 30340;两个三角形相似．

(3)三边对应成= ;比例的两个三角形相&#= 20284;．

(4)一条直角边= ;和斜边对应成比例的&#= 20004;个直角三角形相似ʌ= 94;

(5)直角三角形= ;被斜边上的高分成的&#= 20004;个直角三角形和原Ç= 77;角形都相似．(想一想，为什ߔ= 0;?)

(6)平行于三角= ;形一边的直线和其他&#= 20004;边(或两边的延长ಬ= 7;)相交，所构成௚= 0;三角形与原三角形相&= #20284;．(想一想，为什ߔ= 0;?)

= 3．相似三角形= 0340;性质定理

(1)相似三角形= ;的对应角相等．

(2)相似三角形= ;的对应边成比例．

(3)相似三角形= ;对应高的比、对应中&#= 32447;的比和对应角平分ń= 47;的比都等于相似比．=

(4)相似三角形= ;周长的比等于相似比&#= 65294;

(5)相似三角形= ;面积的比等于相似比&#= 30340;平方．

= = 三、相似多边= 4418;

= 1．相似多边形= 0340;定义

对应角相等、= 3545;应边成比例的两个ࣩ= 0;边形叫做相似多边形&= #65294;相似多边形的对应$= 793;的比叫做相似比(或相似系数)．

= 2．相似多边形= 0340;性质

(1)相似多边形= ;周长的比等于相似比&#= 65294;

(2)两个相似多= ;边形对应对角线的比&#= 31561;于相似比．

(3)相似多边形= ;中的对应三角形相似&#= 65292;其相似比等于相似ä= 10;边形的相似比．

(4)相似多边形= ;面积的比等于相似比&#= 30340;平方．

= = 四、位似图形= 0340;有关问题

= 1．位似图形的= 7010;念

如果两个图形= 9981;仅是相似图形，而ߎ= 8;每组对应点所在的直&= #32447;都经过同一点，那= 040;这样的两个图形叫做= ;位似图形，这个点叫&#= 20570;位似中心，这时的İ= 56;似比又称为位似比．=

= 2．位似图形的= 4615;质

位似图形上任= 4847;一对对应点到位似ߑ= 3;心的距离之比等于位&= #20284;比．

= 3．位似图形与= 0456;似图形的区别

位似图形是一= 1181;特殊的相似图形，೎= 0;相似图形未必能构成&= #20301;似图形．

   &n= bsp; 本节常用的解= 题方法

1.运用中间量变量解'= 064;

对于比较复杂= 的比例关系，有时不= 3021;由一对相似三角形௥= 2;接得出，这时可采用&= #19968;种中间代替方法，= 363;要证 = ＝ = ，可证 = ＝ = ， = ＝ .<= /o:p>

2.化归思想

在解决线段相= 等、等积线段等多种= 2467;论时，通常要依据॥= 0;知条件，将其它问题&= #21270;归比例问题来解决.

例要证ac＝bd，可证 = = ＝ = ，要证a＝b时，= 1487;证 = ＝ = 或 = ＝ = 等.

3.巧作辅助线

本节常用的辅= 助线是作三角形一边= 0340;平行线，从而得到௥= 6;似三角形或比例线段<= span lang=3DEN-US>.

4.等积变形

要证明线段相= 等，通过线段所在的= 9977;角形面积之间的关౿= 5;结合等底(同底)、= 1561;高(同高)等= 6827;行线段等积式变换ᦁ= 2;进而得到结论.

5.渗透代数法

运用代数法，将比例&#= 24335;中的多个量化成只×= 47;一个量的等式，用代= 数方法求解.

   &n= bsp; 重Ġ= 57;难点点拨

本章重点是相= 0284;三角形的判定定理ࡴ= 4;性质定理．

本章难点是线= 7573;成比例问题，位似ࢳ= 0;形的概念及其性质问&= #39064;．由学习线段的相= 561;转入学习成比例问题= ;，这是由特殊转化为&#= 19968;般的问题，这一认ť= 82;过程比较抽象．要掌= 握上述重、难点，必= 9035;注意以下问题．

一z= 89;有关问题的推理、判= 断方法

= 1．判断线段成= 7604;例的方法

(1)利用相似三= ;角形的性质定理．

①相似三角形= 340;对应边成比例．

②相似三角形= 545;应中线、对应高与对= ;应角平分线之比等于&#= 30456;似比．

③相似三角形= 608;长之比等于相似比．= ;

④相似三角形&= 754;积的比等于相似比的= ;平方．

(2)利用相似三= ;角形，依据待证的比&#= 20363;式，找出相应的两È= 10;三角形，判断它们相= 似．

(3)不能证得比= ;例线段时，应考虑通&#= 36807;第三个比(中间比)= 0316;媒介进行判断．

(4)利用面积关= ;系判断线段成比例．

(5)用比例定义= ;判断两组线段成比例&#= 65294;

(6)平行于三角= ;形的一边，并且和其&#= 20182;两边相交的直线，û= 52;截得的三角形的三边= 与原三角形三边对应= 5104;比例．

= 2．判断线段成= 1561;积式的方法

把等积式化为= 7604;例式，找出相应的ߐ= 4;个三角形，再判断它&= #20204;相似．

= 3．判断线段相= 1561;的方法

现补充如下方= 7861;(借助于比例线ૅ= 3;)：
(1)若₌，且a=3Dc(或b=3Dd，&#= 25110;a=3Db)，则b=3Dd(&= #25110;a=3Dc，或c=3Dd)&#= 65294;

(2)若₌，则a=3Db．

(3)若₌，₌，₌，₌，₌，则₌．

= 4．判断角相等= 0340;方法

除前面所述之= 2806;，还可以利用相似ߍ= 7;角形对应角相等来判&= #26029;两角相等．

= 5．与相似形有= 0851;的辅助线的作法

在相似三角形= 7324;，主要是掌握根据ಬ= 7;段的比例式作平行线&= #20026;辅助线的方法．这= 181;平行辅助线不仅可以= ;获得成比例线段而且&#= 36824;可以得到所需的相Ê= 84;三角形．

二z= 89;怎样识别相似图形中= 的位似图形

方法是观察相= 0284;图形上任意一对对ॵ= 2;点的连线是否都经过&= #21516;一点(即位似中心)，若经过同一点ᦁ= 2;这样的相似图形就是&= #20301;似图形．