典型例题

<= span style=3D'font-size:16.0pt;color:fuchsia;background:yellow;mso-highlight:yel= low'>典型例题

例1 已知：x∶2=3Dy∶3=3Dz∶4

=

分析：已知条= 件给出的是一个连比= 5292;而比是一个商，是ߌ= 8;个数值．如果我们设&= #20004;个量a，b的比= 0540;为k，由₌可以得到等式a=3Dbk，所É= 97;比反映的又是两个量= 之间的一种关系.

=

=

=

注：此题的三= 种解法均建立在对“= 604;”的意义的理解上，= 在解法一中，设已知= 7604;的比值为k，分别得x、y、z与k的关系，代入所&#= 27714;代数式中得到结果.整个过程中k的作用非常重要ᦁ= 2;是数学中“设参数”= 4605;想的体现，对这种ਬ= 1;法的理解和掌握很必&= #35201;.解法二体现了“= ;消元”的思想，所求= 0195;数式中利用已知将ঁ= 5;子中的两个量分别用&= #31532;三个量表示，从而= 471;到结果.在解法三中，ࡡ= 3;复利用分数的基本性&= #36136;和比例的性质，使= 195;数式得以一步步接近= ;所求，最终求出结果&#= 65292;使用的是“凑”的方= ;法.

=

分析：运用等= 比性质，立刻得到k=3D2，但已知并未&#= 25351;明a+b+c≠0，因此使用等比性= ;质时要考虑这一情形.

=

当= a+b+c≠0时，<= /span>

=

∴综上k=3D2<= /span>或k=3D-1

= 例3 <= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt'> 已知一三角形各边= 之比是3∶4∶6，另一三角形与ê= 27;相似，且有一边长等= 于12，求另两边的ž= 71;.

分析：一三角= 形三边之比为3∶4∶6，可设三边长为3a、<= st1:chmetcnv UnitName=3D"a" SourceValue=3D"4" HasSpace=3D"False" Negative=3D"False" Numb= erType=3D"1" TCSC=3D"0" w:st=3D"on">4a、<= st1:chmetcnv UnitName=3D"a" SourceValue=3D"6" HasSpace=3D"False" Negative=3D"False" Numb= erType=3D"1" TCSC=3D"0" w:st=3D"on">6a；&= #21478;一三角形与它相似A= 292;其中一边长为12，可设另两边ž= 71;为x、y.因为&#= 23545;应边成比例，但不Ĳ= 93;12与哪一条边对ò= 12;，要分情况讨论.

解：设三角形= 另两条边长为x、y，不= 2952;设x＜y，若x＜y＜12，

=

∴x=3D6，y=3D8

=

∴x=3D9，y=3D18

=

∴x=3D16，<= span lang=3DEN-US>y=3D24

答：另两边的= 长分别为6和8或9和18或16和24.

注：相似三角= 形对应边成比例的对= 4212;关系要注意.

= 例4 已知：如图5-1，△ABC中= ，D是BC中点&#= 65292;EF∥BC，交AB于E，交AC于F，交AD于G.

求证：EG=3D= GF

分析：考虑到= EG，GF所处&= #30340;位置，它们不但共 = 447;，而且与BC平行，又加上BD和CD相等&= #65292;于是可考虑利用“Ĕ= 04;例的后项（前项）相= 等，则比例的前项（= 1518;项）也相等”去证明= ;.

证明：∵EF∥BC ∴△AEG= 765;△ABC，△AGF∽&= #9651;ADC

=

注：利用线段= 的比例关系，可以证= 6126;线段相等，若₌，当a=3Dc时b=3Dd（= 4403;b=3Dd时，a=3Dc= 5289;。

= 例5 已知：如图5—2，△ABC中，∠BAC=3D90°，BC的垂直平分线É= 32;BC于D，交AB于E，CA的延长线于F

求证：DA2=3DDE·DF

分析：本题是= 证明两条线段之积等= 0110;另两条线段之积的໾= 2;题，我们把它改写成<= sub>= ，从图中看出：DA、DE是△ADE的两条边，DA和DF是△ADF的&= #20004;条边，能否证明这= 004;个三角形相似呢？显= ;然，∠ADE是一个公共角A= 292;再由∠B=3D∠DAE，∠= B=3D∠F，不&= #38590;证出∠DAE=3D∠F，至= ;此，思路已通.

证明：∵△ABC中，∠BAC=3D90°，D为BC中点

=

∵DF⊥BC于D，∴= 736;C+∠F=3D90°，&= #8756;∠B +∠C=3D 90°

∴ ∠B=3D= 736;F，∴∠DAB=3D= ∠F，∵ ∠ADE&#= 65309;∠ADF

=

注：此题是直= 接证明两个三角形相= 0284;得到求证结论的.

= 例6 已知：如图5－3， ABCD中，E是AB上一&#= 28857;，DE的延长线与CB延长线交于F

求证：AE∶AD=3DAB∶CF

分析：本题是= 证明四条线段成比例= 0340;问题，观察图中AE，AD，AB，CF所处的位置，Ö= 57;现AE和AD是△ADE的两条边，但CF和AB却不&= #33021;成为同一个三角形= 340;两条边，能否将AB换成和它相等į= 40;线段呢？由题设可知= ， ABCD中AB=3DCD，而CD= 982;CF恰好构成△CDF的两条边，于是#= 774;法证明△ADE和△CDF相= 似.

证明：∴ ABCD，∴∠A=3D∠C，AD∥BC

∴∠ADE=3D&#= 8736;F，∴△ADE= 765;△CFD

=

∴AE∶AD=3DAB∶CF．

注：此题是通= 过等线段代换后实现= 6716;化的.

= 例7 已知：如图5—4， ABCD，E是AB上一&#= 28857;.DE的延长线交CB延长线于F，DE、AC交于点G.

求证：DG2=3DGF·GE

分析：这是证= 明等积式的问题.由于DG、GF、GE三条&= #32447;段共线，无法直接$= 816;用证明比例式的定理= ;，而图中又有平行线&#= 65292;可构成相似三角形ʌ= 92;因此可考虑用等比代= 换进行证明.

证明：∴ ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC

∴△ADGͬ= 5;△CFG，△DGC∽&= #9651;EGA

=

注：ੑ= 2;题是通过等比代换实&= #29616;转化的，即欲证₌，则先证₌，₌，从而通过等量代þ= 42;得到₌的目的。

= 例8 已知：如图5—5，∠ACB=3D∠ADE，ͩ= 6;ABC=3D∠AED

求证：∠ABE=3D∠ACD

分析：∠ABE和∠ACD分别位于△ABE和△ACD中，显然不可= 197;利用全等来证明这两= ;个角相等，但这两个&#= 35282;所在的两个三角形Ŋ= 21;相似吗？从已知条件= 中给的四个角分别在 = 651;ABC和△AED中= ，由它们相等不难证= 6126;△ABC∽△AED，&= #36825;一对三角形的相似A= 292;沟通了我们想要证明= ;的两个三角形的关系&#= 65292;沟通了两个角的关Ŀ= 95;.

证明：∵∠ABC=3D∠AED，ͩ= 6;ACB=3D∠ADE

∴△ABCͬ= 5;△AED

=

即∠BAE=3D&= #8736;CAD，∴△ABE&= #8765;△ACD（两边对应成= 604;例且夹角相等，两三= ;角形相似）

∴ ∠ABE=3D&= #8736;ACD．=

注：（1）“两角对应相等，&= #20004;三角形相似”的判ê= 50;方法经常用到.但“两边对应成= ;比例且夹角相等，两&#= 19977;角形相似”的判定ਬ= 1;法常被忽略，这在复&= #20064;中应引起重视.

（2）Ò= 33;用相似三角形是证角= 相等的一种方法.

（3）ë= 47;找三角形对应线段的= 比例关系，可应用旋= 6716;、平移和翻折，如ߣ= 7;A为中心，将△AED顺时针旋转使AE与AB，AC与AD重合，即可找Ò= 40;对应线段，顺利的写= 出比例式，再如以A为中心，将△ABE逆时针方向旋$= 716;使∠BAE与∠DAC重= 点，也很容易发现相= 0284;关系，抓住等角，౔= 1;角所对的边即对应边&= #65292;则以角找边也是常= 992;的方法.

= 例9 <= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt'> 已知：如图5—6，△ABC，∠ACB=3D90&de= g;，CD是斜边上的高ʌ= 92;F的AC上一&#= 28857;，E为BF上一&#= 28857;，∠BED=3D∠A

求证：CE⊥BF

分析：要证CE垂直BF，&= #23601;要证∠CEB=3D90°，现在题中&#= 26377;∠ACB和∠BDG、= ∠ADC为90°，= 1482;要设法证∠CEB与其中某一个90°角相等即可，= 因为∠CEG所在的三角形= 982;90°角GDB所= 2312;的△GDB有一对对顶角A= 292;借助于这个条件，设= ;法增添条件使△CEG与△GDB相= 似，据已知条件△DEG能和△CGB= 相似，由相似三角形= 3545;应边成比例，可为△= ;CEG∽△GDB增&= #28155;条件，于是结论可#= 777;.

证明：∵Rt△ACB，&#= 8736;ACB=3D90°，CD⊥= ;AB于D=

∴∠A=3DW= 36;BCD

∵∠A=3DW= 36;BED，∴∠BED=3D∠DCB

∵∠EGD=3D&#= 8736;CGB

∴△EGDͬ= 5;△CGB

=

∴△CEGͬ= 5;△GDB

∴∠CEG=3D&#= 8736;BDG

∵CD⊥AB于D，∴= 736;BDG=3D90°

∴∠CEG=3D90= °

∴CE⊥BF．<= /p>
= 例10 = 已知：如图5—7，在Rt△ABC中，∠C=3D90°，D是<= span lang=3DEN-US>BC的中点，DE= ⊥AB，垂足为E<= /span>，AC∶BC=3D1∶2，AE=3D7

求：DE= 340;长.

分析：此题图= 形虽不复杂，但条件= 2810;，且比较分散，可๩= 0;过设未知数的方法，&= #36890;过代数计算求出DE的长，从而使ſ= 82;题得到解决.由已知AC&#= 8758;BC=3D1∶2，又= ;由已知和图形可知△BED∽△BCA，&= #20110;是可知BE、BD的关&= #31995;式，再由勾股定理= 067;列方程，于是DE可求.

解：设DE的长为x

∵DE⊥AB于D，∴= 736;BED=3D90°

∴∠C=3D90&d= eg;

∴∠C=3DW= 36;BED ∵∠B=3D∠= B

∴△BEDͬ= 5;△BCA

=

∵AC∶BC=3D1∶2

=

∴BE=3D2x

=

∵D是BC中点=

=

在= Rt△ACB中，∠C=3D90°

∴BC²+AC^=
2=3DAB²

=

3x²-4x-7=3D0<= /span>

=

∵x为ૈ= 4;例系数，∴x＞0，x=3D-1不合题意，舍Ö= 35;

=

= 例11<= span lang=3DEN-US style=3D'font-size:14.0pt'> 已知：如图5－8，△ABC，∠BAC=3D45&de= g;，AD⊥BC于D，BD=3D2，CD=3D3，<= span lang=3DEN-US>

求S_{△<=
span
lang=3DEN-US>ABC}．<= /span>

分析：要求△<= span lang=3DEN-US>ABC的面积，由于BC已知，又由于AD⊥BC故只&#= 35201;求出AD的长即可，但Ĭ= 01;于条件分散，故要通= 过作辅助线使分散的= 6465;件集中，由于图中੍= 7;45°角，又有直角= 三角形，故过点B作BE⊥AC于E于是出了全等ߍ= 7;角形AEF和三角形B= EC，得出边AF=3DBC，EC=3DEF，= ;由相似三角形可求出AD的长，于是三Š= 82;形ABC面积可求.=

解：作BE⊥AC于E，∴= 736;BEA=3D90°

∴∠FAE+W= 36;AFE=3D∠DBF+∠BFD=3D90°

∵∠BFD=3D&#= 8736;AFE

∴∠FAE=3D&#= 8736;DBF

∵∠FEA=3D&#= 8736;BDF=3D90°

∴△AFEͬ= 5;△BFD

=

∵∠BAE=3D45= °，∠AEB=3DRt∠

∵AE=3DBE

在△FAE= 644;△BCE中=

=

∴△FAEͮ= 0;△BCE

∴AF=3DBC=3D5A= 292;EF=3DBC．∴设DF=3Dx=

=

解得：x1=3D1，x₂=3D-6 ∵x=3D-6不合题意，∴x=3D1

∴AD=3DAF+FD=3D5+1=3D6

=

答：三角形ABC的面积等于15.

互为借鉴= 5292;开拓视野

物理与数学自= 古以来就有广泛的联= 1995;，许多著名的物理ण= 8;家，都精通数学，又&= #26159;位数学家．物理学= 013;大量问题都要依靠数= ;学方法去解决，同样&#= 65292;利用物理学知识，ĉ= 00;造物理模型，去解决= 数学中的一些问题，= 0063;有独到的长处．在ॱ= 9;常的学习中只要我们&= #21892;于沟通数理间的联= 995;，互为借鉴，互为印= ;证．对开拓视野，激&#= 21457;兴趣，发展思维能Ó= 47;，尤其是发散思维是= 有益的．下面举几例= 5292;以供借鉴．

1．利用三角形相߬= 4;对应边成比例的关系&= #35299;

例1 在盛满水的半径 R=3D 5米的圆形贮水池中ও= 5;的正上方离水面高度 H=3D3米ã= 88;有一盏灯．身高h=3D1.8= 米的人要看见灯在૒= 0;中的像，人离池边的&= #26368;大距离S等于= ;多少？

解平静的水面可当作ॱ= 9;面镜面．人要看见灯&= #22312;水中的像，一定要= 377;灯射向水面的光线经= ;水面反射后射到人眼&#= 65292;最远时是以池边水ƃ= 54;为光线的入射点，据= 光的反射定律作出成= 0687;光路，如图1所示．因为∠1=3D∠2，所&= #20197;∠3=3D∠4.得= Rt△SOA∽Rt△MPA,因为相似三角形的= 545;应边成比例，故：

=

2．利用光的反射ऩ= 0;律及平面镜成像原理&= #27714;数学中最小值问题

光的反射定律= 和平面镜成像原理告= 5785;我们：入射光线、ࡡ= 3;射光和法线在同一平&= #38754;上，反射角等于入= 556;角．物体在平面镜中= ;成的是虚像，虚像和&#= 29289;体大小相等，它们į= 40;连线跟镜面垂直，并= 且它们到镜面的距离= 0456;等．据此我们构造୰= 9;理模型，求一类数学&= #20013;的最小值问题．

例2 在正方形ABCD中，E在= BC上，BE=3D 2= 5292;CE=3D1，P在 BD上，则PE= 和PC的长度之和最ë= 67;可达到______．

解若我们把BD看作一面镜子ʌ= 92;光线从C点射向镜面，ಮ= 3;反射，使反射光线过<= span lang=3DEN-US>E点．据平面镜ৎ= 4;像原理可知，点C关于平面镜BD有虚像C′，并且 C′、C关于BD对&#= 31216;，所以 C′与 A重&#= 21512;，连AE交BD于P′，P′就是入射点，= ;且P′C等于P′A，在&= 236;面BD上任取一点P．

则 PC+ PE=3D PA+ PE≥AE，当P在P′位置时为最小= ;．

所以，经平面= 镜成像的光程最短，= 1363;

　　

　　

由上可知，物= 理与数学的联系较为= 2039;密，我们在解物理ག= 4;时，就注意观察物理&= #20851;系式的数量关系特= 857;，从而熟练自如地运= ;用数学技巧求解，而&#= 19968;些数学问题，如能ð= 39;用物理知识去思考，= 则可找到一条解决问= 9064;的捷径。