例1. 已知：如图过B点引平行于正方形ABCD的对角线AC的直线BE，在BE上取一点F，使AF=AC四边形ACEF是菱形，BD交AC于O
求证：AE及AF将∠BAC三等分。

提示：
　　（1）在正方形ABCD中∠BAC是多少度？
　　　　　菱形的对角线具备什么性质？∠2与∠3的关系如何？
　　（2）假设∠1=∠2=∠3 那么∠2+∠3=？
　　（3）BO与AC、AF的关系如何？能否使BO的等量与AF在一个特殊的三角形中？需如何添加辅助线构造成特殊的三角形？
参考答案：
　　证明：作FH⊥AC于H，∵正方形ABCD中BD⊥AC于O、BO=BD=AC
　　　　　∵BE∥AC，FH⊥AC ∴FH=BO=AC=AF
　　　　　∴在Rt△AFH中∠FAH=30°
　　（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）
　　∵四边形ACEF是菱形，AE是对角线∴∠2=∠3=15°
　　∵AC是正方形ABCD的对角线∴∠BAC=45°∴∠1=15°
　　∴∠1=∠2=∠3=15° 即AE及AF将∠BAC三等分。
说明：
　　（1）本题有一定的综合性，菱形、正方形对角线的性质要熟练掌握
　　（2）如何添加适当的辅助线，构造一个直角三角形是解决问题的关健。
　　（3） 恰到好处的利有了BO=BD=AC、AF=AC的条件又AC∥BE构造了一个30°角的直角三角形使问题得以解决利用平行线使线段平移后构造特殊图形的方法常用

例2. 已知：如图AD是等腰△ABC底边BC上的高，∠ABC的平分线交AC于E，过E作EF⊥BC于F，又过E作EG⊥BE交BC于G，

　　

提示：
　　（1）请观察线段BG是什么三角形的哪条边？
　　　　 线段DF与BG重叠在一起能否利用平行线，把它转移？
　　（2）在直角三角形中，与斜边有特殊关系的是哪条特殊线段？结合条件能否构造出来？
　　（3） 学习了特殊四边形后，请思考它们都是什么四边形？添加什么样的辅助线可以构造出什么特殊四边形？
参考答案：
　　∵BE⊥GE于E ∴在Rt△BEG中作斜边BG的中线EP　
　　∴EP=BP ∴∠EBP=∠BEP
　　∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBP=∠BEP ∴AB∥EP
　　　过E点作CB的平行线交AD于M交AB于H。
　　∴四边形BHEP是平行四边形又BP=EP　
　　∴四边形BHEP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
　　∴EH=EP=BG……（1）
　　∵AD⊥BC、EF⊥BC又EM∥FD∴四边形EFDM是矩形（两组对边分别平行，一个角是直角的四边形是矩形）
　　∴DF=ME……（2） EH⊥AD于M
　　∵△ABC是等腰三角形EH∥BC ∴△AHE是等腰三角形
　　∵AD⊥EH ∴AD平分EH ∴ME=EH=EP……（3）
　　由(1)、(2)、(3)可知DF=BG

说明：
　　（1） 构造熟知的图形把过于集中的条件分散，把分散的条件再集中
　　（2） 此题的综合性较强，书写过程中在不失严谨的前提下，可适当减少非主要步骤的书写，但关健步骤要注明理由