例1. 在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。DE⊥BC于E，DF⊥AC于F。
求证：四边形CEDF是正方形


提示：
　　（1）角的平分线具有什么性质？
　　　　 线段DF与DE的数量关系如何？
　　（2）四边形FDEC由条件可知是什么图形？为什么？
　　（3）矩形具备什么条件后可判定为正方形
参考答案：
　　作OG⊥AB于G∵AD平分∠BAC、DF⊥AC、DG⊥AB
　　∴DF=DG（角平分线上的点到角的两边距离相等）
　　同理DG=DE ∴DF=DE
　　∵DF⊥AC、DE⊥BC ∴∠DFC=∠DEC=∠C=90°
　　∴四边形CEDF为矩形又DF=DE
　　∴四边形CEDF为正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）
说明：
　　（1）矩形常用的判定方法：①一个角是直角的平行四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形
　　（2）请从边、角、对角线三个不同的元素方面总结正方形的判定方法。
　　（3）已知角平分线上的点到一边的距离时，一般要作出到另一边的距离。
例2. 在正方形ABCD中P、Q分别为BC、CD上的点，
　　（1） 若∠PAQ=45°求证：PB+DQ=PQ
　　（2） 若△PQC的周长等于正方形周长的一半。
求证：∠PAQ=45°
　　
提示：
　　（1）能否添加适当的辅助线，使PB+DQ在一条线段上？有几种方法？
　　（2）能否构造一个与△APQ全等的三角形？以哪条线段为边有几种方法？
　　（3）请观察两个问题间有哪些关系？是什么命题？
参考答案：
　　（1）证明：延长CB至E使BE=DQ，连结AE∵四边形ABCD是正方形
　　　　　　　　∴∠D=∠ABC=∠ABE=90°AB=AD
　　　　在△ABE和△ADQ中
　　　　
　　　　　∴△AEP≌△AQP(SAS) ∴PE=PQ
　　　　　∴PE=PB+BE=PB+DQ=PQ即PB+DQ=PQ
　（2） 证明：延长CB至E使BE=DQ连结AE由（1）知△ABE≌△ADQ　
　　　　∴AE=AQ、∠BAE=∠DAQ ∴∠DAQ+∠BAQ=∠BAE+∠BAQ=90°
　　　　∵△PQC的周长等于正方形周长的一半，即PC+CQ+PQ=BC+CD
　　　　∴PQ=（BC-PC）+（CD-CQ）=BP+DQ=BP+BE=PE
　　　
说明：
　　（1）本题的两个问题恰好是互逆的两个命题，即是通过构造全等三角形的方法得证的方法不唯一。
　　（2）从几何变换的角度看△ABE是由△ADQ绕着A点旋转90°得到的,这种旋转变换的思想在正方形的有关问题中常用。